对偶式解决圆锥曲线解决圆锥曲线定点定直线问题

$\mathrm{设}AB\mathrm{为}\mathrm{椭}\mathrm{圆}\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{6}=1\mathrm{的}\mathrm{长}\mathrm{轴}，\mathrm{该}\mathrm{椭}\mathrm{圆}\mathrm{的}\mathrm{动}\mathrm{弦}PQ\mathrm{过}C(2,0),\mathrm{便}\mathrm{不}\mathrm{过}\mathrm{原}\mathrm{点}，\mathrm{直}\mathrm{线}AP\mathrm{与}QB\mathrm{相}\mathrm{交}\mathrm{于}\mathrm{点}M,PB\mathrm{与}AQ\mathrm{相}\mathrm{交}\mathrm{于}\mathrm{点}N,\mathrm{求}\mathrm{直}\mathrm{线}MN\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{程}。$
$\mathrm{解}:\mathrm{显}\mathrm{然}\mathrm{△}CMN\mathrm{是}\mathrm{自}\mathrm{极}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}，\mathrm{容}\mathrm{易}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{直}\mathrm{线}MN\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{为}x=8$
什么是对偶式：
假设AB为圆锥曲线上的一条弦（不与长轴重合），AB这条弦经过定点M（m，0）
我们不妨设$Ａ(x_1,y_1),B(x2,y_2)$那么根据题意我们可以得到
$\frac{y_1}{x_1-m}=\frac{y_2}{x_2-m}\Rightarrow$
$y_1{x}_2-y_2{x}_1=m(y_1-y_2)\mathrm{①}$
然后我们利用到A、B两点都在椭圆上,利用平方差公式
$y_1{x}_2+y_2{x}_1=\frac{(y_1{x}_2{)}^2-(y_2{x}_1{)}^2}{y_1{x}_2-y_2{x}_1}=\frac{y_1^2(a^2-\frac{a^2}{b^2}{y}_2^2)-y_2^2(a^2-\frac{a^2}{b^2}{y}_1^2)}{m(y_1-y_2)}$
$=\frac{a^2(y_1^2-y_2^2)}{m(y_1-y_2)}=\frac{a^2(y_1+y_2)}{m}\mathrm{②}$
这样我们得到①式和②式就是我们在解决定点定直线问题中很重要的对偶式！
对偶式对于非对称韦达题目效果很好
例1、已知双曲线$\mathrm{\Gamma }(gamma)\frac{x^2}{4}-y^2=1,A,B\mathrm{为}\mathrm{左}\mathrm{右}\mathrm{顶}\mathrm{点}，\mathrm{设}\mathrm{过}\mathrm{定}\mathrm{点}Ｔ(4,0)$的直线与双曲线交于C,D两点，不与AB重合，记直线AC,BD的斜率为$k_1,k_2，\mathrm{证}\mathrm{明}：\frac{k_1}{k_2}$为定值.
设Ｃ(x_1,y_1),D(x_2,y_2),A(-2,0),B(2,0),T(4,0)
根据上述结论有（考试是需要推导出这两个式子）
$\{\begin{array}{l}{x}_1{y}_2-x_2{y}_1=4(y_2-y_1)\mathrm{①}\\ x_1{y}_2+x_2{y}_1=y_2+y_2\mathrm{②}\end{array}$
$\mathrm{两}\mathrm{式}\mathrm{相}\mathrm{加}\mathrm{减}\mathrm{得}\{\begin{array}{l}{x}_1{y}_2=\frac{5}{2}{y}_2-\frac{3}{2}{y}_1\\ x_2{y}_1=\frac{5}{2}{y}_1-\frac{3}{2}{y}_2\end{array}$
又有：$\frac{k_1}{k_2}=\frac{x_2{y}_1-2y_1}{x_1{y}_2+2y_2}=\frac{\frac{5}{2}{y}_1-\frac{3}{2}{y}_2-2y_1}{\frac{5}{2}{y}_2-\frac{3}{2}{y}_1+2y_2}=-\frac{1}{3}$