导数之双参数恒成立问题：

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双参恒成立$\{\begin{array}{l}\mathrm{零}\mathrm{点}\mathrm{比}\mathrm{大}\mathrm{小}\mathrm{分}\mathrm{式}\mathrm{结}\mathrm{构}\\ \mathrm{特}\mathrm{殊}\mathrm{点}\mathrm{比}\mathrm{高}\mathrm{低}\mathrm{和}\mathrm{结}\mathrm{构}\\ \mathrm{相}\mathrm{切}\mathrm{取}\mathrm{最}\mathrm{值}\mathrm{积}\mathrm{结}\mathrm{构}\\ \mathrm{共}\mathrm{零}\mathrm{点}\mathrm{恒}\mathrm{成}\mathrm{立}\end{array}$

一、分直曲，零点比大小：

$e^x-mx+n-1\ge 0\Rightarrow e^x-1\ge mx-n$
左曲右直，保证曲线在直线的左上方即成立。
$\iff \mathrm{相}\mathrm{切}\iff$ 曲线的零点在直线的零点的左侧；
即$\mathrm{零}{\mathrm{点}}_{\mathrm{直}\mathrm{线}}\ge \mathrm{零}{\mathrm{点}}_{\mathrm{曲}\mathrm{线}}，\mathrm{相}\mathrm{切}\mathrm{时}\mathrm{取}\mathrm{等}，\mathrm{即}\frac{n}{m}\ge 0\Rightarrow \frac{n}{m}-1\ge -1$

第2题目：已知函数$f(x)=\ln x,g(x)=(a-e)x+2b,\mathrm{若}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}f(x)\le g(x)\mathrm{在}x\in (0,+\mathrm{\infty })\mathrm{上}\mathrm{恒}\mathrm{成}\mathrm{立}，\mathrm{则}\frac{2b}{a}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}()$
$A.-\frac{1}{2e}B.-\frac{1}{e}C.-eD.e$
解：f(x)和g(x)的零点分别为:$x_1=1,x_2=\frac{-2b}{a-e}$ ,显然分母的e是多余的，要作变形。$f(x)\le g(x)\Rightarrow \ln x+ex\le ax+2b$
$x_1=\frac{1}{e},(\mathrm{观}\mathrm{察}，\mathrm{用}1,e,\frac{1}{e}\mathrm{等}\mathrm{去}\mathrm{尝}\mathrm{试})，x_2=\frac{-2b}{a};\mathrm{右}\mathrm{侧}\mathrm{零}\mathrm{点}\ge \mathrm{左}\mathrm{侧}\mathrm{零}\mathrm{点}，\mathrm{即}\mathrm{有}\frac{1}{e}\ge \frac{-2b}{a}$
$\Rightarrow \frac{-2b}{a}\le \frac{1}{e}\Rightarrow \frac{2b}{a}\ge -\frac{1}{e}$
例3：已知$f(x)=\ln (3x)-a{x}^2-bx+1\le 0\mathrm{恒}\mathrm{成}\mathrm{立}，\mathrm{则}\frac{b}{a}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}\mathrm{为}()$
$A.\frac{1}{e}B.-\frac{1}{e}C.-\frac{1}{2e}D.-\frac{1}{3e}$
解：$\ln (3x)\le a{x}^2-bx-1$,这时右侧是抛物线，要将它变为直线，作如下变形：
$\frac{\ln (3x)+1}{x}\le ax+b$
此时左侧的函数正是我们最常用的超越函数$\frac{\ln x}{x}$的复合型,它有极大值，先增后减，直线恒在它的左侧。它的零点大于直线的零点。
$\ln 3x+1=0\Rightarrow x_1=\frac{1}{3e},x_2=-\frac{b}{a}$
$-\frac{b}{a}\le \frac{1}{3e}\Rightarrow \frac{b}{a}\ge -\frac{1}{3e}$
例4、$\mathrm{已}\mathrm{知}a,b\in R，\mathrm{若}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}x\ln x-a\ln x\ge x+b\mathrm{对}\mathrm{于}\mathrm{\forall }x>0\mathrm{恒}\mathrm{成}\mathrm{立}，\mathrm{则}\frac{b}{a}\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{范}\mathrm{围}\mathrm{是}$
解：这里$a\mathrm{与}\ln x$相乘，并不直线的斜率，因而我们作一个巧妙的变换。令$t=\ln x$换元。原式换元为:$t{e}^t-at\ge e^t+bt\in R$

类型二、分直曲，特殊点比高低

例1、右直线$y=ax+b$与曲线$y=2+\ln x$相切，则$a+b$的取值范围为
解：直线$f(x)=ax+b$,曲线$g(x)=2+\ln x$，显然直线在曲线的左上角，$f(x)\ge g(x)\Rightarrow f(1)=a+b\ge g(1)=2$,当且仅当它们在(1,2)处相切时取等号；
例2、记曲线$f(x)=x-e^{-x}$上任意一点处的切线为直线$l:y=kx+b$，则k+b的值可能为$()$
$A、\frac{1}{2}B、1C、2D、3$
这里需要对f(x)的凹凸性进行判断，补充一下函数凹凸性：二阶导数大于0,为凹函数；小于0为凸函数。
$f^{\prime }(x)=1+e^{-x}{f}^{″}(x)=-e^{-x}<0,$故$f(x)$为凸函数$\Rightarrow$直线在曲线的左上方。
$k+b\le f(1)=1-\frac{1}{e}$,故选A

类型三、分直曲，相切处取最值

例1、若不等式$e^x\ge (a+1)x+b$对于一切$x\in R$ 恒成立，则$(a+1)b$的最大值为—
先证明相切处取最值： $f(x)\mathrm{是}\mathrm{凹}\mathrm{曲}\mathrm{线}，g(x)\mathrm{是}\mathrm{曲}\mathrm{线}，\mathrm{且}h(x)=f(x)-g(x)\ge 0,x\in R,$无端点，$h^{\prime }(x)\ge 0\Rightarrow x_0$处有极小值$h^{\prime }(x_0)=0\Rightarrow f^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(x_0)\iff \mathrm{两}\mathrm{者}\mathrm{在}{x}_0$处相切。
解：先求曲线的切线一般方程：设切点为$(m,e^m),k=e^m$
$\Rightarrow y-e^m=e^m(x-m)\Rightarrow y=e^{m}x+(1-m)e^m$
$\because \mathrm{切}\mathrm{线}y=(a+1)x+b\Rightarrow \{\begin{array}{l}a+1=e^m\\ b=(1-m)e^m\end{array}$
$\Rightarrow (a+1)b=(1-m)e^{2m}$顺利将二元变成一元函数了
设$p(x)=(1-x)e^{2x}$$p^{\prime }(x)=(1-2x)e^{2x},x\in (-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})p^{\prime }(x)<0,p(x)\searrow$;
$(\frac{1}{2},+\mathrm{\infty }),p^{\prime }(x)>0,p(x)\nearrow$
$p(x)\mathrm{在}x=\frac{1}{2}$处有极小值。
$p(x{)}_{min}=p(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}e$
例2、已知不等式$e^{x-\frac{1}{a}+1}-2ax\ge b\mathrm{对}\mathrm{\forall }x\in R\mathrm{恒}\mathrm{成}\mathrm{立}，\mathrm{则}\frac{b}{a}$的最大值为
解：$e^{x-\frac{1}{a}+1}\ge 2ax+b$
$\Rightarrow x_0=-\frac{b}{2a}$但左边曲线没有零点，且又含有a; 设相切于$x_0,\Rightarrow \{\begin{array}{l}{e}^{x_0-\frac{1}{a}+1}=2a\\ e^{x_0-\frac{1}{a}+1}=2a{x}_0+b\end{array}$​
$\Rightarrow x_0-\frac{1}{a}+1=\ln 2a\therefore x_0=\ln 2a+\frac{1}{a}-1\Rightarrow 2a=2a{x}_0+b$$b=2a(2-\ln 2a-\frac{1}{a})\Rightarrow \frac{b}{a}=2(2-\ln 2a-\frac{1}{a})\mathrm{设}h(a)=2-\ln 2a-\frac{1}{a}$$h^{\prime }(a)=-\frac{2}{2a}+\frac{1}{a^2}=\frac{1-a}{a^2}$
先增后减，$h(a)\mathrm{在}a=1$处有极大值$h(x{)}_{max}=h(1)=1-\ln 2；$
$\frac{b}{a}\le 2-2\ln 2\mathrm{故}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{为}2-2\ln 2$
$\mathrm{大}\mathrm{题}\mathrm{如}\mathrm{何}\mathrm{作}\mathrm{答}？$
例３、已知函数$f(x)=e^x-x+\frac{1}{2}{x}^2,\mathrm{若}f(x)\ge \frac{1}{2}{x}^2=ax+b,\mathrm{求}(a+1)b$最大值。
解： $e^x-x+\frac{1}{2}{x}^2\ge \frac{1}{2}{x}^2+ax+b$
令$h(x)=e^x-(a+1)x-b\ge 0\iff h(x{)}_{min}\ge 0$
$h^{\prime }(x)=e^x-(a+1)$
①$a+1\le 0\mathrm{时}，h^{\prime }(x)\ge 0,h(x)\nearrow ,x\to -\mathrm{\infty }\mathrm{时}，h(x)\to -\mathrm{\infty };h(x)<0\mathrm{与}h(x)\ge 0$矛盾。
②$a+1>0\mathrm{时}，\mathrm{令}{h}^{\prime }(x)=0,\mathrm{解}\mathrm{得}{x}_0=\ln (a+1),h(x{)}_{min}=h(\ln (a+1))$$h(x{)}_{min}=h(\ln (a+1))=a+1-(a+1)\ln (a+1)-b\ge 0$$b\le a+1-(a+1)\ln (a+1)\Rightarrow b(a+1)\le (a+1)[a+1-(a+1)\ln (a+1)]$$\mathrm{令}t=a+1>0p(t)=t^2-t^2\ln t$$\mathrm{对}p(t)\mathrm{求}\mathrm{它}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{即}\mathrm{可}。p^{\prime }(t)=2t-2t\ln t-t=t(1-2\ln t)$​
p(t)先增后减，极大值在$t=e^{\frac{1}{2}},(a+1)b\le e^{\frac{1}{2}}$

类型四、共零点恒成立

24年2卷8题：设函数$f(x)=(x+a)\ln (x+b),\mathrm{若}f(x)\ge \ge 0,\mathrm{则}{a}^2+b^2\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}\mathrm{为}()$
$A、\frac{1}{8}B、\frac{1}{4}C、\frac{1}{2}D、1$
例2、函数$f(x)=x{e}^x-ax-b{e}^x+ab(a>0),\mathrm{若}f(x)\ge \ge 0,\mathrm{则}\frac{b-1}{a}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{值}\mathrm{为}()$
$A、e^{-2}B、e^{-1}C、eD、e^2$